مجموعه اعداد گویا |
Q ={ X= a/b | (a,b) Z , b ≠ 0 } |
افتن اعداد اول
به اعدادی که جز خودشان و یک ، بر هیچ عدد دیگری بخش پذیر نیستند اعداد اول میگویند.
برای کشف رازهای اعداد اول ، در طول تاریخ سعی و تلاش های بسیاری شده است. بسیاری از ریاضی دانان ، به دنبال یافتن رابطه ای میان اعداد اول بوده اند و فرمول های بسیاری در این زمینه تولید شده اند.
فرمول مرسن
مارتین مرسن (۱۰۲۷-۹۶۷ هجری شمسی) ، یک کشیش ریاضی کار بود. این ریاضی کار فرانسوی نیز علاقه ی زیادی به اعداد اول داشت. او ادعا کرد که ” تمام اعداد ، به شکل
مثال:
p=5 , ۲p-1 = 31
که وقتی ۵ اول بود ، ۳۱ نیز اول شد.
الک اراتستن
وقتی بخواهند دانه های گندم را از اضافه های آن جدا کنند ، از الک خاصی استفاده میکنند که سوراخ های آن با اندازه های دانه های گندم ، متناسب باشد. اراتستن ، حدود ۲۰۰۰ سال پیش ، روش بسیار دقیق و قابل اعتماد خود را ارائه کرد. او روی مضارب ۲ و ۳ و ۵ و … را خط نمیکشید ، بلکه آن ها را با یک چوب کوچک ، سوراخ میکرد. مثل این که عددهای غیر اول را ، از سوراخ های الک ، بیرون میکرد و تنها عددهای اول را نگاه میداشت.
یکی از نوادگان اراتستن ، معتقد است در روش جدش ، رازهایی موجود می باشد. او میگوید یکی از این رازها مربوط به آخرین عدد اولی است که مضاربش در الک ، حذف میشود. مثلا در الک اعداد ۱ تا ۸ ، آخرین عدد اولی که مضاربش خط میخورد ، عدد ۲ میباشد. یعنی بزرگترین عدد اول جدول ، بزرگتر یا مساوی جذر تقریبی عدد آخر جدول است.
الک پیشرفته ی اراتستن
الک اراتستن ، روش خوب و قابل اعتمادی میباشد و برای نیاز های کوچک ، همیشه میتوان از همان “الک دستی اراتستن” استفاده کرد. این روش هم در گذر تاریخ ، به تدریج پیشرفت هایی کرده است. مثلا یک دانشجو در سال ۱۳۲۳ شمسی و در ایام جنگ جهانی دوم ، یکی از این الک های جدید را درست کرده است که آن را بررسی می کنیم
به اعداد زیر دقت کنید ؛ آیا رابطه ای میان اعداد این جدول مشاهده می کنید ؟:
۴ | ۷ | ۱۰ | ۱۳ | ۱۶ | ۱۹ | ۳k+1 |
7 | 12 | 17 | 22 | 27 | 32 | 5k+2 |
10 | 17 | 24 | 31 | 38 | 45 | 7k+3 |
13 | 22 | 31 | 40 | 49 | 58 | 9k+4 |
16 | 27 | 38 | 49 | 60 | 71 | 11k+5 |
19 | 32 | 45 | 58 | 71 | 84 | 13k+6 |
3k+1 | 5k+2 | 7k+3 | 9k+4 | 11k+5 | 13k+6 |
|
اگر عددی مثل n ، در این جدول وجود داشته باشد ، عدد ۲n+1 غیر اول است و اگرعددی مثل m ، در این جدول وجود نداشته باشد ، ۲m+1 عددی اول است.
مثال ۱: در جدول ، عدد ۳ وجود ندارد ، پس :
که ۷ عددی اول است. ۷ = ۱+ ۲×۳