مجموعه اعداد گویا عضو ابتدا و انتها ندارد.
مجموعه اعداد گویا نسبت به عمل تقسیم بسته نیست، زیرا : صفر عضوی از مجموعه اعداد گویا است ولی ( 0/ عدد ) معنی ندارد.
سعی شود همراه مخرج عدد گویا مثبت باشد.
-a/b = a/-b = -(a/b)
دو عدد گویا مساوی :هر گاه صورت و مخرج عدد گویایی را در عددی (مخالف صفر) ضرب و یا به عددی (مخالف صفر) تقسیم کنیم عدد گویا تغییر نمی کند و عدد گویایی مساوی عدد گویای اولی بدست می آید یعنی :
اعداد گویای بین دو عدد گویا :بین دو عدد طبیعی متوالی یا دو عدد صحیح متوالی ، عدد طبیعی یا صحیح وجود ندارد. اما درمورد اعداد گویا این مطلب درست نیست. بین هر دو عدد گویای متمایز بی شمار عدد گویا وجود دارد.
مثلاً عدد 4/1 یکی از اعداد گویا بین صفر و یک است و این مطلب را به صورت 1<4/1>0 می نویسند، و یا 3/1 - یکی از اعداد گویا بین 4/1 - و 2/1 - است و بصورت
4/1- > 3/1 - > 3/2 - می نویسند. میانگین دو عدد گویا : یعنی میانگین دو عدد گویا متمایز بین آن دو عدد قرار دارد.
هر عدد گویا نظیر a /b که صورت و مخرج آن عامل مشترک نداشته باشند عدد گویای تحویل ناپذیر می نامند. a
b =1 یا (a , b)=1 نمایش اعشاری اعداد گویا ( تحویل ناپذیر)اعداد گویا سه نوع هستند. نوع اول : در مخرج کسر پس از تجزیه به عاملهای اول فقط عاملهای 2و5 وجود دارد. در این صورت اگر صورت کسر را به مخرج آن تقسیم کنیم پس از چند رقم اعشار باقیمانده تقسیم صفر می شود.
در این صورت گفته می شود عدد گویا قابل تبدیل به کسر اعشاری تحقیقی یا مختوم می باشد. نوع دوم: در مخرج کسر پس از تجزیه کردن به عامل های اول عامل های 2 و 5 وجود ندارد . در این نوع اعداد گویا چنانچه صورت را به مخرج تقسیم کنیم به باقیمانده صفر نخواهیم رسید وخارج قسمت حقیقی بدست نمی آید ، بلکه در خارج قسمت بعد از ممیز رقم یا ارقام مرتب تکرار میشوند .این نماد را نماد اعشاری متناوب ساده می نامند .
نوع سوم :چنانچه کسر پس از تجزیه کردن به عامل های اول عامل های 2و 5 و سایر عوامل اول وجود داشته باشد در این صورت خارج قسمت بعد از ممیز غیر از ارقام دوره گردش ارقام دیگری قبل از دوره گردش وجود دارد که تکراری نمی شوند و باقیمانده هرگز صفر نخواهد شد. این عدد را عدد اعشاری متناوب مرکب نامند.
تذکر : در حالت (1) اگر a را بر b تقسیم کنیم وعمل تقسیم را ادامه بدهیم باقیمانده صفر خواهد شد و در حالت (2) و (3) اگر a را بر b تقسیم کنیم و عمل تقسیم را ادامه بدهیم باقی مانده هیچوقت صفر نخواهد شد.
در تبدیل عدد اعشاری متناوب به کسر متعارفی :هر عدد اعشاری متناوب را می توان به صورت یک کسر گویا (کسر متعارفی نوشت) برای اینکار به ترتیب زیر انجام می دهیم.
1) آن عدد را مساوی x قرار می دهیم (a)
| | 2) طرفین رابطه (a) را در | 10 k | ضرب می کنیم. ( k تعداد ارقام غیرگردش است) (b) |
3) طرفین رابطه ی ( b) را در 10 ضرب می کنیم ( p تعداد ارقام گردش است) (c )
4) رابطه bرا از c کم می کنیم و سپس x را بدست می آوریم و ساده می کنیم.
تبدیل عدد اعشاری تحقیقی به کسر گویا (کسر متعارفی)
| | برای این کار کافی است که کسر متعارفی بنویسیم که صورت آن ارقام اعشاری بعد از ممیزمخرج آن | 10n |
باشد (تعداد ارقام بعد از ممیز است)
تبدیل کسر اعشاری متناوب ساده به کسر متعارفی :برای این کار کسری می نویسیم که صورت آن دوره تناوب و مخرج آن تعدادی 9 به تعداد ارقام دوره تناوب باشد.
تبدیل عدد اعشاری متناوب مرکب به کسر متعارفی :برای این کار کسری که می نویسیم که صورت آن یک دوره تناوب و غیرتناوب منهای یک دوره غیر تناوب باشد و مخرج آن تعدادی 9 (به تعداد ارقام دوره تناوب و جلوی آن تعدادی صفر به تعداد ارقام دوره غیرتناوب باشد)
مجموعه اعداد حقیقی :می دانیم هر عدد گویا می شود و به صورت یک عدد اعشاری (تحقیقی – متناوب) نوشته و هر عدد اعشاری یک عدد گویا است.
حال به عدد اعشاری 20200200020000/0 توجه کنید که بعد از ممیز عددهای 2 و صفرها به طریقی تکرار شده اند ولی هیچ شناختی به عدد اعشاری متناوب ندارد. یعنی این یک عدد اعشاری متناوب نیست. پس این یک عدد غیرگویا است. این عدد را یک عدد گنگ یا (اصم) می نامند.
تعریف : هر عدد اعشاری که حقیقی و متناوب نباشد را یک عدد اصم می گویند. مانند: Π = 3 / 141592633589793 √2 = 1/414213
℮ = 2 / 71... مجموعه اعداد گنگ (اصم) : همه ی اعداد اصم مجموعه ای را تشکیل می دهند که به آن مجموعه اعداد گنگ می نامند و با Q c نشان می دهند.
مجموعه اعداد حقیقی :همه ی اعداد گویا و اصم مجموعه ای را تشکیل می دهند که به آن مجموعه اعداد حقیقی می گویند و با k نشان می دهند . پس :
R = Q Q c | 
